L'intuition des limites unilatérales
Alors que l'algèbre pose la question « Quelle est la valeur en $x=a$ ? », le calcul demande « Quelle valeur la fonction approche-t-elle lorsque $x$ se rapproche arbitrairement de $a$ ? » Cela nous permet de naviguer dans les « trous » ou sauts des fonctions où une valeur pourrait ne pas exister.
Nous écrivons $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ si nous pouvons rendre les valeurs de $f(x)$ aussi proches que souhaité de $L$ en prenant $x$ suffisamment proche de $a$ et $x$ inférieur à $a$. C'est ce qu'on appelle l'« approche par la gauche », comme illustré dans Figure 9.
Pour qu'une limite bilatérale existe, les points de vue gauche et droit doivent être parfaitement conformes :
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f(x)$$
Si ces deux limites ne coïncident pas, comme dans la fonction de Heaviside (Figure 8), nous disons que la limite n'existe pas (DNE).
Limites infinies et asymptotes
Parfois, une fonction n'approche pas une valeur finie ; elle explose. Définition 4 indique que si $f(x)$ augmente sans borne lorsque $x \to a$, nous disons que $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$. Cela identifie une asymptote verticale (Définition 6).
Exemples pratiques
- Exemple 8 : $\lim_{x \to 0} 1/x^2 = \infty$. Les deux côtés du graphe dans Figure 11 montent ensemble vers le haut.
- Exemple 10 : La fonction $y = \tan x$ possède des asymptotes verticales en $x = \pi/2 + n\pi$ car les valeurs tendent vers $\pm\infty$ (voir Figure 16).
- Comportement logarithmique : Dans Figure 17, nous observons que $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, créant ainsi une asymptote verticale sur l'axe des ordonnées.